LCA

用于求最近公共祖先(LCA)的 Tarjan算法–以POJ1986为例

LCA_Tarjan最近公共祖先问题LCA(Least Common Ancestors)问题是这样一个问题

给定有向无环图(就是树,不一定有没有根),给定点U,V,找出点R,保证点R是U,V的公共祖先,且深度最深;或者理解为R离这两个点的距离之和最小.如何找出R呢?

最一般的算法是DFS(DFS本是深度优先搜索,在这里姑且把深度优先遍历也叫做DFS,其实是一种不严谨的说法).先看一道赤裸裸的LCA:POJ 1330 Nearest Common Ancestors 这道题给出了根节点,还保证”the first integer is the parent node of the second integer”(输入第一个数是第二个数的祖先),这是赤裸裸的LCA,算法很简单,从根节点DFS一遍,按DFS层数k给每个节点标上深度deep[i]=k.然后从U点DFS到V点,找到后回溯,在回溯的路径上找到一个deep[i]最小的节点即为LCA.

强大的LCA Tarjan算法能在一遍遍历后应答全部的LCA查询,时间复杂的约为\(\Theta (N)\)

有人说POJ1330是一道LCA Tarjan,在我看来完全不是,LCA Tarjan算法的用途是处理大量请求,如果只有几个(POJ1330每个Case只有一个)询问大可不必写Tarjan算法,不过,1986的编程难度高,如果只是想先学LCA Tarjan, 用1330验证正确性也不是不可以.

LCA Tarjan算法

再来看一道题:POJ1986 Distance Queries 这道题才是真正的LCA Tarjan,只给一个有向无环图,有海量询问;(注意,输入格式与POJ 1984 Navigation Nightmare 一样,需要参考1984的输入格式)

输入格式大意:

  • 第1行:节点数N,边数M
  • 第2…M+1行:起始节点,目标节点,路径长度,方向(无意义字符,本题直接忽略)
  • 第M+2行:询问个数K(1 <= K <= 10,000)
  • 第N+3…2+M+K行:查询 U,V

这道题用DFS做的时间复杂度为\(\Theta (K \times N) \) 显然很不理想,这个时候伟大的Tarjan来了,问题迎刃而解.

首先,LCA Tarjan 是一种离线算法,要求一次读入所有询问,一次性输出,这正是LCA Tarjan 算法的精髓

以下大量引用Sideman神牛的话:

LCA Tarjan基本框架:

  • 先用随便一种数据结构(链表就行),把关于某个点的所有询问标在节点上,保证遍历到一个点,能得到所有有关这个节点LCA 查询
  • 建立并查集.注意:这个并查集只可以把叶子节点并到根节点,即getf(x)得到的总是x的祖先
  • 深度优先遍历整棵树,用一个Visited数组标记遍历过的节点,每遍历到一个节点将Visite[i]设成True 处理关于这个节点(不妨设为A)的询问,若另一节点(设为B)的Visited[B]==True,则回应这个询问,这个询问的结果就是getf(B). 否则什么都不做
  • 当A所有子树都已经遍历过之后,将这个节点用并查集并到他的父节点(其实这一步应该说当叶子节点回溯回来之后将叶子节点并到自己,并DFS另一子树)
  • 当一颗子树遍历完时,这棵子树的内部查询(即LCA在这棵子树内部)都已经处理了

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