SPFA

算法简介

SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)是Bellman-Ford算法的一种队列实现,减少了不必要的冗余计算。也有人说SPFA本来就是Bellman-Ford算法,现在广为流传的Bellman-Ford算法实际上是山寨版。

算法流程

算法大致流程是用一个队列来进行维护。 初始时将源加入队列。 每次从队列中取出一个元素,并对所有与他相邻的点进行松弛,若某个相邻的点松弛成功,则将其入队。 直到队列为空时算法结束。

这个算法,简单的说就是队列优化的bellman-ford,利用了每个点不会更新次数太多的特点发明的此算法

SPFA——Shortest Path Faster Algorithm,它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径,可以处理负边。SPFA的实现甚至比Dijkstra或者Bellman_Ford还要简单:

设Dist代表S到I点的当前最短距离,Fa代表S到I的当前最短路径中I点之前的一个点的编号。开始时Dist全部为+∞,只有Dist[S]=0,Fa全部为0。

维护一个队列,里面存放所有需要进行迭代的点。初始时队列中只有一个点S。用一个布尔数组记录每个点是否处在队列中。

每次迭代,取出队头的点v,依次枚举从v出发的边v->u,设边的长度为len,判断Dist[v]+len是否小于Dist[u],若小于则改进Dist[u],将Fa[u]记为v,并且由于S到u的最短距离变小了,有可能u可以改进其它的点,所以若u不在队列中,就将它放入队尾。这样一直迭代下去直到队列变空,也就是S到所有的最短距离都确定下来,结束算法。若一个点入队次数超过n,则有负权环。

SPFA 在形式上和宽度优先搜索非常类似,不同的是宽度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列,但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列,也就是一个点改进过其它的点之后,过了一段时间可能本身被改进,于是再次用来改进其它的点,这样反复迭代下去。设一个点用来作为迭代点对其它点进行改进的平均次数为k,有办法证明对于通常的情况,k在2左右

Dist[i]:头到i当前最小距离

Cost[i,j]:邻接矩阵,i点到j

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